会員の皆様へ（2014年2月のご挨拶）

道中双六の問題（続）

目次

　新しい図表示
　過渡現象
　宿場数（s）が一般の場合
　偏微分方程式で近似
　Excelでの数値計算結果（2014/2/4、2/5追記）
　終わりにあたって

新しい図表示

「前月の問題の続きね。
それはそうと、おじさん、体調大丈夫なの」


「ともちゃんか、いや、心配を掛けたのう。
　大勢のみなさまにも、大変なお力添えをいただいた。厚く感謝申し上げます。
　なかなか、元のようには復調はしないがの。
　当面は、ぼつぼつと、進めていきたいと思っていますので、よろしくお願いします。
　さて、2014年1月のご挨拶で、「道中双六の問題」を取り上げた。
　そこでは、主として、ともちゃんが書いてくれた、図表示に基づいて書き進めた」

「宿場数が1の場合は、こんな感じだったわね。


　そもそも、「道中双六の問題」は、　いわゆる、絵双六で、駒を振り出しから進めるんだけど、
１．駒は、振り出しから、必ず、1番目の宿場に進める。
２．駒は、各宿場で、確率Pで、次の宿場に進み、確率(1－P)で1つ戻るものとする。
３．駒が最後の宿場から上がりに進んだときは、双六上から消える。
４．駒どおしの関係は、無いものとする。
５．振り出しから、1番目の宿場まで、及び、各宿場間、並びに、最後の宿場と上がりまでの所要時間は、同一とし、1日と勘定する。
　というようルールで行うと仮定したゲームで、平均何日で上がれるかを計算したいという問題ね。
　それで、分かりやすいように、前回は、上の図表示を使ったの。
　縦線が、振り出しから上がりまでを示していて、数字は、0が振り出し、上がりは s+1、（宿場数を s）。
　また、3種類の矢印の黒は、確率1での推移、赤は、確率P、青は、確率（1－P）での推移をそれぞれ表す」

「1月は、床についていることが多かったので、いろいろと頭の中で考えてみたのじゃが、もう少し、分かりやすい図を思いついたというわけじゃ。
　
　それが、上に示したような図じゃ」

「横線が、時間（振り出し、上がりを含めて、宿場間の移動に要する時間を1）で、縦軸が位置（振り出しが0、上がりがs+1）を示すという事ね。
なるほど、これだと、宿場数が一般の場合にも、煩雑にならずに構造を示せそうね」

「そうじゃろう。
　次節では、一般の場合に入る前に、すこし、違った角度からこの問題を眺めてみようかの」
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過渡現象

「以下では、Pがゼロではない場合をもっぱら考えよう。
そうすると、宿場数sが、いくつであっても、時間が相当程度経過した後では、すべての駒は、上がりに到達して、盤上から、いなくなってしまう」

「それは、そうね。
　駒の代わりに振り出しから一定時間のみ光が放射されたとして、宿場を半透明な膜と考えて透過・反射時の損失がなく、また、振り出しは、反射率が1で、上がりは、反射率がゼロであるとすれば、時間が経過した後は、すべての光は、上がりに吸収されてしまうとすれば分かりやすいかしら」

「そうじゃな。
　盤上の駒の数が保存されず、すべて上がりに、吸収されてしまうので、考えている状態は、定常状態ではない。
　その意味で、この道中双六の問題は、「過渡現象」を扱っていると考えられる」

「過渡現象と言えば、電気回路などの問題が思い浮かぶわね。
　s=1で考えると、


　上の図のように、フィードバックがある回路になる。
　演算子法に従うと、このような回路のフィルターは、像空間で、変数を、s（ここでは宿場数ではない）で示すと、
　exp(－s)×p×exp(－s)／（1－exp(－s)×(1－p)exp(－s)）、となる。
　これは、p×exp(－2s)／（1－(1－p)exp(－2s)）
=pe^(－2s) + pe^(－4s)(1－p) + pe^(－6s)(p－1)^2 + pe^(－8s)(1－p)^3 + pe^(－10s)(p－1)^4 + e^(－12s)(1－p)^5・・、
となるので、原空間では、入力信号をf(t)とするとき、出力信号は、
　p×f(t－2)+p(1－p)×f(t－4)+p(1－p)^2×f(t－6)+p(1－p)^3×f(t－8)+p(1－p)^4×f(t－10)＋p(1－p)^5×f(t－10)・・、
と遅延することがわかる」

「各係数を見ると、t=2m+2として、p(1－p)^m、ここで、m=0～の整数となっている。
　これは、前回に求めた、2m+2回で、上がれる確率と等しい」

「ついでに、宿場数が2の場合の伝達関数はと言うと、前回の記事を参考にして、
原空間では、p^2(1－p^2)f(t－3)＋p^2(1－p^2)f(t－5)＋p^2(1－p^2)f(t－7)＋・・、となるように考えると、
伝達関数は、p^2(1－p^2)exp(－3s)／（1－(1－p^2)exp(－2s)）でなければならない」

「確かにな。
　図で表すと、

となる。
　これは、近似的ではあるが、

と置き換えて考えることも可能じゃろう」
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宿場数（s）が一般の場合

「さて、いよいよ、宿場数が1以上の一般の場合を考える。
このとき、前々節に記載した図が役に立つ。
　
　上の図は、一般のs（宿場数）の場合じゃ。
　ここで、時間をtで、振り出しから上がりまでをj（0～s+1）で表す。
　このとき、各交点の確率をf(j,t)とするとき、以下の式が成り立つ。
　（1）f(0,0)=1
　（2）t<j → f(j,t)=0
　（3）j>s+1 → f(j,t)=0
　（3）f(0,t)=(1－p)×f(1,t－1)
　（4）f(1,t)=f(0,t－1)
　（5）j<s → f(j,t)=(1－p)×f(j+1,t－1)+p×f(j－1,t－1)
　（6）上記以外は、f(j,t)=p×f(j－1,t－1)」

「じゃ、早速、DERIVEで定義してみるよ。





　結構、面倒だったけど、上の図のようになった。

　試しに、s=1,2,3,4,5の場合の、f(s+1,s+2m－1)をm=1～10まで計算してみた。

s=1の場合、
([p, p(1 － p), p(p － 1)^2, p(1 － p)^3, p(p － 1)^4, p(1 － p)^5, p(p － 1)^6, p(1 － p)^7, p(p － 1)^8, p(1 － p)^9])

s=2の場合、
([p^2, p^2(p + 1)(1 － p), p^2(p + 1)^2(p － 1)^2, p^2(p + 1)^3(1 － p)^3, p^2(p + 1)^4(p － 1)^4, p^2(p + 1)^5(1 － p)^5, p^2(p + 1)^6(p － 1)^6, p^2(p + 1)^7(1 － p)^7, p^2(p + 1)^8(p － 1)^8, p^2(p + 1)^9(1 － p)^9])

s=3の場合
([p^3, p^3(1 － p)(2p + 1), p^3(p － 1)^2(4p^2 + 3p + 1), p^3(1 － p)^3(2p + 1)(4p^2 + 2p + 1), p^3(p － 1)^4(16p^4 + 20p^3 + 13p^2 + 5p + 1), p^3(1 － p)^5(2p + 1)(4p^2 + p + 1)(4p^2 + 3p + 1), p^3(p － 1)^6(64p^6 + 112p^5 + 104p^4 + 63p^3 + 26p^2 + 7p + 1), p^3(1 － p)^7(2p + 1)(4p^2 + 2p + 1)(16p^4 + 16p^3 + 10p^2 + 4p + 1), p^3(p － 1)^8(4p^2 + 3p + 1)(64p^6 + 96p^5 + 84p^4 + 51p^3 + 21p^2 + 6p + 1), p^3(1 － p)^9(2p + 1)(16p^4 + 12p^3 + 9p^2 + 3p + 1)(16p^4 + 20p^3 + 13p^2 + 5p + 1)])

s=4の場合、
([p^4, p^4(1 － p)(3p + 1), p^4(p － 1)^2(8p^2 + 4p + 1), p^4(1 － p)^3(3p + 1)(7p^2 + 2p + 1), p^4(p － 1)^4(55p^4 + 40p^3 + 19p^2 + 6p + 1), p^4(1 － p)^5(3p + 1)(6p^2 + 1)(8p^2 + 4p + 1), p^4(p － 1)^6(377p^6 + 354p^5 + 219p^4 + 100p^3 + 34p^2 + 8p + 1), p^4(1 － p)^7(3p + 1)(7p^2 + 2p + 1)(47p^4 + 20p^3 + 10p^2 + 4p + 1), p^4(p － 1)^8(8p^2 + 4p + 1)(323p^6 + 210p^5 + 132p^4 + 64p^3 + 21p^2 + 6p + 1), p^4(1 － p)^9(3p + 1)(41p^4 + 8p^3 + 9p^2 + 2p + 1)(55p^4 + 40p^3 + 19p^2 + 6p + 1)])

s=5の場合
([p^5, p^5(1 － p)(4p + 1), p^5(p － 1)^2(13p^2 + 5p + 1), p^5(1 － p)^3(40p^3 + 19p^2 + 6p + 1), p^5(p － 1)^4(121p^4 + 66p^3 + 26p^2 + 7p + 1), p^5(1 － p)^5(364p^5 + 221p^4 + 100p^3 + 34p^2 + 8p + 1), p^5(p － 1)^6(1093p^6 + 727p^5 + 364p^4 + 143p^3 + 43p^2 + 9p + 1), p^5(1 － p)^7(3280p^7 + 2367p^6 + 1286p^5 + 560p^4 + 196p^3 + 53p^2 + 10p + 1), p^5(p － 1)^8(9841p^8 + 7652p^7 + 4459p^6 + 2105p^5 + 820p^4 + 260p^3 + 64p^2 + 11p + 1), p^5(1 － p)^9(29524p^9 + 24601p^8 + 15256p^7 + 7705p^6 + 3260p^5 + 1156p^4 + 336p^3 + 76p^2 + 12p + 1)])

となるんだけど、例によって、再帰呼び出し関数は、計算に時間がかかるわね」

「二重の再帰関数じゃからな。
　DERIVE de ドライブで触れたように、ベクトルを使えば、計算速度は上げられるがの。
　今回は、取り上げないことにしよう」

「s=1と2は、規則的なんだけど、s=3から、式が難しくなっちゃう。
　そこで、s=1から4までの、確率密度の近似和をグラフにしてみた。
　和は、t=s+1～s+2m－1、（m=1～10）の範囲で計算している。
　
　横軸は、確率 p。こんな感じ」

「予想どおりじゃが、s（宿場数）が増えると、p<1では、なかなか上がりにくくなることが分かるのう」

「でも、五十三次のs=53は、ほど遠いわ」

「一番よいのは、この確率密度関数の母関数が分かれば、上がる日数の平均値の計算はできるが、ちょっと、今は分からない」
「s=53は、大きいので、差分を微分で近似したらどうかしら？」

「そう、それが、現実的な考えじゃ」
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偏微分方程式で近似

「時間をtで、位置をxで表すことにしよう。
　基本となるのは、f(x,t)=(1－p)×f(x+1,t－1)+p×f(x－1,t－1)じゃな」

「変数の範囲は、t=0～∞、x=0～s+1、となるわね。
　上式で、tをt+1に替えて、f(x,t+1)=(1－p)×f(x+1,t)+p×f(x－1,t)、
　1を微少量と考えて、
　左辺は、f(x,t)+∂（f,t,1)+(1/2)∂（f,t,2)+・・、
　また、右辺の第1項は、（1－p）（f(x,t)+∂（f,x,1）+(1/2)∂（f,x,2）+・・）、
　同様に第2項は、p（f(x,t)－∂（f,x,1）+(1/2)∂（f,x,2）+・・）、
　となるので、
　（1－2p）∂（f,x,1）－∂（f,t,1）+（1/2）（∂（f,x,2）－∂（f,t,2））≒0、
　ここで、∂（f,x,2）などは、f(x,t)をxで2回偏微分していることを表す」

「まあ、そういうことかな。
　fのtに関する変化率が小さいとすれば、更に、
　（1－2p）∂（f,x,1）－∂（f,t,1)+（1/2）∂（f,x,2）≒0
　移項して、
　∂（f,t,1)≒（1－2p）∂（f,x,1）+（1/2）∂（f,x,2）、
　初期条件、境界条件は、難しいが、大まかに、f(x,x)=p^x、
　f(x,0)≒δ(x) 、ここで、δ(x)は、ディラックのデルタ関数。
　f(x,x)=p^x、ただし、x<s+1
　f(x,t=∞)→0 などとなると思う。
　今回は、時間切れじゃったな」

「でも、sが一般の場合の解決の糸口が見えてきたわ」

※青字の式が誤っていましたので、2014/2/3に修正しました。
※取り消し線部分は、2014/2/7に修正しました。
※1次元の熱伝導、拡散方程式等との対比を念頭に差分の近似式を2014/2/15にあらためました。
　これにより、p≒1の場合は、∂（f,t,1)≒－∂（f,x,1）、ですが、これは、g(x)=f(x,0)と置いたときに、f(x,t)=g(x－t)が近似解となることを示します。
　これは、t=0のときのg(x)が速度1で進行することを意味します。
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Excelでの数値計算結果（2014/2/4、2/5追記）

「Excelで、道中双六の数値計算をやってみたよ。
　宿場数が、s=5とs=53の場合を、第1節の表を作る方法で計算し、振り出しから上がりまでの平均日数を計算したところ、下の表のようになった。
　ただし、下の表では、平均上がり日数を最短日数で除したものを載せている。
　例えば、s=5、p=0.2では、倍率568.7は、実日数では、約3412日を6で割ったものなの」

「これは、労作じゃな。
　いや、珍重、珍重。
　どれどれ、s=53が、いわゆる五十三次の場合じゃな。
　確率の和も検証してみたのかの」

「ΣPが0.98以上の場合のみ、表にしてあります。
　だから、s=5で、p=0.1では、約16000個の和をとっても、ΣPが0.1程度にしかならないため、表に載せていないのね。
　同じように、s=53では、p=0.5で、ΣP≒0.998・・、であるんだけど、p=0.4では、4×10^－7程度にしかならないから、カット」

　「グラフがこれかの。
　
　p=1/2の場合は、平均上がり日数が、s=5で、最短日数（s+1=6）の6倍、s=53で、53.5倍と、それぞれ、概ね s+1倍になっている。
　前回の記事で厳密に計算した結果でも、p=1/2の場合は、s=1で、2倍、s=2で、3倍、と同一の傾向じゃ。
　これらから推測すると、特に、p=1/2の場合、sの如何に関わらず、平均上がり日数は、最短日数の約s+1倍であると言えるのではないか？」
「前節の偏微分方程式も、p=1/2では、簡単になるので、そのあたりにも何か秘密がありそうね」

「物理的な描像としては、宿場数sの場合、振り出しから上がりまでの間に、s+1個の小部屋があるが、時間がs日経過後、p=1/2の時は、ほぼ、すべての小部屋に均等に入っていると考えられるのではないか。
　一方、p=1の場合は、短時間に一度に出発した場合を考えてみれば分かるように、どれか1つの小部屋にしか存在しないので、1日ごとに一団となって一つ先の小部屋に進む。
　最後の小部屋、これは、s個目の宿場と上がりとの間じゃが、ここに入ると、pの如何に関わらず、次は、上がることになる。
　p=1の場合は、それは、s+1日後に一斉に起こり、これが最短時間じゃが、p=1/2のときは、駒がs+1個の小部屋に分散しているため、1日毎に上がる駒数は、1/(s+1)となる。
　従って、平均上がり日数／最短日数は、この逆数となり、s+1倍になるという景色が思い浮かぶのう」

「なるほどね。
　簡単に言えば、駒の平均の速さが、p=1/2のときは、p=1の時の速さの 1/(s+1)になるということか。
　ま、感覚的には、分かる気がするけど」

※青字部分は、2014/2/5に追記しました。
※青字色の部分の取り消し線は、2014/2/6に施しました。
　なぜならば、p=1/2で、s=53の場合のExcelでの数値計算結果を再確認したところ、t=s+1=54における、f(x,54)は、x=0～54の間で、均一とは言えず、xが0に近いほど、f(x,54)が1に近くなっており、0=< x <=25の範囲のf(x,54)の和は、0.99を超えていました。
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終わりにあたって

　今回もご覧いただき、ありがとうございました。
　本年、2014年4月9日に、いよいよ、Windows XPとOffice 2003 に対するマイクロソフト社のサポートが終了を迎えます。
　それまでに3ヶ月となったわけです。Office 2002までのサポートは、すでに終了しています。
　サポート終了後、インターネットに接続して利用するパソコンでは、セキュリティが厳しい状態になります。
　Windows 7、または、Windows 8、Windows 8.1 搭載のパソコンに買い換えましょう。もはや、考えている時間は、ありません。
　特に、Windows 7のプリインストールパソコンは、量販店では、既に販売されておりませんので、通販サイト等を利用する必要があります。年度末が近づくとこれらは、品薄となり得ますので、早めに対処する必要があるでしょう。（参考URL：http://www.nikkeibp.co.jp/xp2014/）
　なお、当教室でも、Office2003関係コースの新規受講受付を2013/12末で終了いたしました。
ご了承下さいますようお願い申し上げます。
　　では、次回も、また、本欄で元気にお会いできますことを願っています。
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作成 2014/2/1、目次を追加 2019/5/5