みなさま、いかがお過ごしでしょうか。
この原稿は、10月17日頃から書き始めました。
今日も秋雨が降り続いていますが、秋霖というほど冷たい雨ではありません。南の台風からのしめった暖かい空気が秋雨前線を活発にしているためでしょう。
光と音は、よく対比されます。人の五感のうち、外界の情報を収集する上でかけがいのない「もの」でもあるからでしょう。
聖書の創世記に「初めに、神が天と地を創造した。・・そのとき、神が『光よ。あれ。』と仰せられた。すると光ができた。」
(青空文庫 創世記)
とありますように光の重要性は、古来から人間が強く意識してきたものです。
また、現代物理学の中においても「光子」は、素粒子の主要な一員です。
たとえて言えば、光が外を活発に飛び回っている兄であるならば、音は、家の中で遊んでいる控えめな妹のようです。
（このように書くとジェンダーフリー的には、よろしくないのかな。元気な姉と内気な弟でもいいのです・・）
音は、気体や固体のような媒質中を伝播しますが、光のように真空中を伝わることはできません。
すなわち、我々は、太陽からの音を聞くことはできないのです。
一方、どちらも波（波動）という極めて普遍的な物理現象の代表例でもあります。
光と音については、歴史的にも物理的にも膨大な内容がありますので、とても網羅的には、記載できませんが、いくつかトピックス的に取り上げてみましょう。次回も続編を予定しています。
波動現象については、基本的な用語や定義があります。ここで、まとめておきましょう。
まず、波の高さ(強度)をgで表しましょう。簡単のために一次元的に伝わる波を考えて、時間ｔと座標ｘを使用します。
するとg（t，x)で時間ｔの位置xでの波の高さを表せます。
ここで、「物理を勉強しなおす本(講談社)」に従って、g(t，x)が従う波動方程式を考えましょう。
記法は、少し変えてあります。
－－－引用は、ここから－－－
時刻t＝0の時の波形をψ(x)＝g(0，x)とします。波の速度をuとしたとき、x＝utの位置の波の高さがψ(x)と同一だと仮定します。
すなわち、g(t，x)＝ψ(x－ut)・・①
これは、波の方が変わらないで伝わっていくと仮定していることにあたります。
実際の波には、減衰や変形が伴う場合もありますが、ここでは、無視します。
①の両辺をtで２回、偏微分します。u2ψ"＝∂2g／∂t2。
また、xでの２階偏微分は、ψ"＝∂2g／∂x2。
ψ"を消去すると、∂2g／∂t2＝u2×∂2g／∂x2・・②
という波動方程式が得られます。
－－－引用は、ここまで－－－
さて、②は、線形の方程式ですので、重ね合わせの原理が利用できます。重ね合わせの原理というのは、②の独立な2つの解があるとき、両者の和もまた、解であるという原理です。
今回、②の一つの解としてg＝T(t)×X(x)を考えて、変数分離を試みます。②に代入すると、
T"X＝u2×TX"となり、両辺をTXで割ると、T"／T＝u2×X"／Xとなります。
左辺は、tのみの関数、右辺は、xのみの関数ですが、両者が一致するためには、式の値がxにもtにもよらない定数でなくてはなりません。
この定数をα2とおけば、
T"＝α2×T・・③
X"＝(α／u)2×X・・④
という式が成り立ちます。これらの解は、おなじみの三角関数で次のように表されます。
T(t)＝A×Sin(αt＋β)・・⑤
X(x)＝B×Sin(αx／u＋γ)・・⑥
なお、T(t＋2π／α)＝T(t)なので、波は、時間 2π／α＝τ(周期という)ごとに繰り返すことが分かります。
単位時間の振動数(周波数)をfと書けば、f＝1／τなので⑤は、T(t)＝A×Sin(2πft＋β)と書けます。
また、角振動数(角周波数)ω＝2πfを使ってT(t)＝A×Sin(ωt＋β)と書くと簡潔になります。
一方、α＝2πfだったので、⑥に使うとX(x)＝B×Sin(2πfx／u＋γ)となりますが、波の最大(山)間の長さである波長λを使い、λf＝uから、X(x)＝B×Sin(2πx／λ＋γ)となります。
更に波数kをk＝2π／λで定義すると、X(x)＝B×Sin(kx＋γ)と簡潔になります。
これらの記号を使うと②の一般解は、g(t，x)＝ΣA×Sin(ωt＋β)Sin(kx＋γ)となります。
各パラメータは、初期条件や境界条件により決まります。
これまでは、1次元的な方向へ伝わる波を考えてきましたが、水面の波や太鼓の振動などのように2次元的な広がりのある場合は、同様な方法により、等方的な媒質について、位置x，yの高さg(t，x，y)は、
∂2g／∂t2＝u2×(∂2g／∂x2＋gの∂2g／∂y2)＝u2△gを満たします。
ここで、△gをgのラプラシアンと呼んでいます。1次元の場合と同様にg＝X(x)Y(y)T(t)として変数を分離すれば、
T"＝α2×T
X"＝c1×(α／u)2×X、Y"＝c2×(α／u)2×Yを得ます。ここで、c1、c2は、c1＋c2＝1のパラメータ。
上記の解は、やはり三角関数で表され、一般解もその和で表されます。
また、太鼓のように円形の場合は、ラプラシアンを極座標(r，θ)で表現すると
△g＝(1／r2)∂／∂r(r2∂g／∂r)＋(Sinθ／r2)∂／∂θ(Sinθ∂g／∂θ)となります。
今度は、g＝T(t)R(r)Θ(θ)として変数分離を試みます。
時間tと角度θについては、三角関数となりますが、rについては、ベッセル関数という特殊関数が現れます。
このように三角関数等の和または積分に分解することをスペクトル分解といい、ω、kが離散的な場合と連続的な場合とがあり得ますが、それらを固有値、その固有値に対応する関数を固有関数と呼びます。
弦の振動により音が出ることは、昔からよく知られていたようで、ギリシャのピタゴラス(紀元前582～同497頃)が後年、ピタゴラス音律と呼ばれる音楽の理論を弦の振動を基に研究していたことでも有名です。
特にピタゴラスが注目したのは、弦の太さと張力が同一のとき、弦の長さを半分にすると振動数が2倍になることでした。
この振動数比が１：２という性質は、現在でも1オクターブとして西洋音楽で使われているのですってね。
(恥ずかしながら、今まで、聞いた記憶がありませんでした。今回、初めて知りました。)
さて、上記は、初等的には、波長λの整数倍＝弦の長さLの2倍と置くことにより示されます。
すなわち、nλ＝2Lです。λ＝2L／nでない波は、発生しても反射波と打ち消しあって、存在できないと考えるのです。
特にn＝1の時の振動数を基本振動数と呼びます。nが1より大きいものを倍音とか高調波と呼ぶことがあります。
実際の振動では、n＝1以外の波も混ざりますが、基本振動数の波の大きさが卓越しているので、ほぼ、この通りに聞こえることになります。
次にもう少し理論的な扱いを試みます。
弦の線密度(単位長さあたりの質量)をρとします。弦は、太さを無視できるものとして、長さをL、その張力をτとしましょう。
また、弦の長さ方向と直角方向の変位をg(t，x)とします。変位は、長さLに比して相当程度小さいものとします。
境界条件は、両端固定と考えて、g(t，0)＝g(t，L)＝0となります。
簡単のために初期速度∂g／∂tも至るところ、0とします。
このように仮定すると、xとx＋dx間の質量ρ×dxの微少弦の運動方程式から
ρ∂2g／∂t2＝τ∂2g／∂x2・・①が出てきます。
これにより波の速度uが、u＝√(τ／ρ)となることが分かります。
一方、前節で①の一つの解は、Sin(ωt＋β)×Sin(kx＋γ)となりますが、境界条件は、g(t,0)＝g(t,L)＝0であり、
γ＝0、また、Sin(kL)＝0から、λ＝2L／n (n＝1、2・・)となります。これは、前段で考察した結果と一致します。
すると解の一つは、(Sin(ωt)Cosβ＋Cos(ωt)Sinβ)×Sin(nπx／L)となります。
ところで、今回の場合は、t＝0の初期速度がゼロであるとすれば、β＝π／2となり、上記は、Cos(ωt)×Sin(nπx／L)と書けます。
振動数fは、速度u等により、f＝nu／2Lとも表されます。
また、弦の初期の変位g(0，x)＝G(x)であったとしますと条件としてG(x)＝ΣAnSin(nπx／L)が必要です。
これを満たす係数は、An＝(1／L)∫G(x)Sin(nπx／L)dx ただし、積分は、0～Lの間で行います。
一般のG(x)がこのように三角関数で表され、収束することは、フーリエの定理によって保証され、このような級数をフーリエ級数と呼んでいます。これは、固有関数による展開の典型的な例です。
空気中の音速が約340m／秒であることは、すでに17世紀、砲弾の着弾の視認と破裂音との差異から測定されていました。
ニュートン(1642～1727)は、音が空気の圧縮と膨張との繰り返しが音の進行方向に沿って伝わる波(＝縦波)であると考え、音速を初めて理論的に導きました。(歴史をたどる物理学 東京教学社より)
水中(約1450m／秒)や固体中(約4000～5000m／秒)での音速が、空気中より大きいであろうことは、経験から推測されていましたが、実際に測定されたのは、19世紀に入ってからのことです。
音速V(＝長さL／時間Tの次元を持つ)は、媒質の体積弾性率K(＝質量M／(L×T2乗)の次元を持つ)と
密度ρ(＝M／L3乗の次元を持つ)の関数であると仮定すれば、次元解析より、Vは、(K／ρ)の平方根に比例することが分かります。
精密な計算によるとこの比例係数は、1です。
空気は、ほぼ、理想気体と考えてよいのですが、この場合は、Kは、絶対温度Tと気体の比熱γと圧力Pとを用いて、
K＝γPから、V＝√（γRT／M）と表されます。ここで、Rは、気体常数、Mは、1モルの質量。
であるので、気体の場合は、絶対温度の平方根に比例して音速が早くなることが分かります。空気の場合は、1度上がる毎に約0.6m／秒だけ速くなります。
ここに比熱が入ってくる理由は、気体の断熱圧縮・断熱膨張という熱力学の現象が関係してくるからです。
なお、水中では、電磁波は、伝播しにくいため潜水艦などとの通信や探知に音波が使われていることは、周知のことです。
秒速約30万キロメートル(3×10の8乗m)という途方もない光速度は、なかなか、実験室では、測定できませんでした。
木星の衛星イオの食の周期が地球の運動とあたかも呼応するかのように増減(約960秒)することから、光速度のだいたいのオーダーが1675年、レーメルにより求められました。
レーメルは、この増減が地球が太陽の回りを回転(公転)しているため地球の公転円の直径分だけ光が余分に伝わる時間が必要なためであると考えたのでした。
すなわち、公転円の直径は、大略3×10の11乗mであるので、光速度は、3×10の11乗／960秒＝約3×10の8乗ｍ／秒であると。
(歴史をたどる物理学 東京教学社より)
しかし、これで一挙に光速度が有限のものであると認められた訳ではないようです。レーメルの後にブラッドレーにより光行差という現象が観測され、光速度のより精密な値が求められるにいたってはじめて、光速度が有限のものであり、その大きさが前述のような値であることが広く、学界に認知されたそうです。
一方、実験室で光速度が求められたのは、1849年、回転歯車を用いてフィゾーが測定したのが最初でした。
フィゾーの方法では、測定に約8キロメートルという長い距離が必要でしたが、その翌年、フーコーがより短い長さで測定できるよう、回転鏡を使う方法を工夫し、水中の光の速度も測定したのでした。(歴史をたどる物理学 東京教学社より)
光の粒子説に立てば、水に引っ張られて光速度は、空気中より増すはずでしたが、測定によると、その値は、空気中の約75%であり、水中では、光速度が水の空気に対する屈折率(約1.3)で除した値になるという光の波動説から導かれる値と一致しました。これは、光の波動説にとって決定的な証拠となりました。
光が横波(波の進行方向とずれた方向に振動する波)であると理解され始めたのは、19世紀になってからのことでした。
音波とのアナロジーから光も縦波であろうとの固定観念からなかなか抜け出せなかったせいもあるでしょう。
方解石などの石は、太陽光線に対して複屈折という現象を示します。複屈折とは、方解石を通してみると物が2重に見えるという現象です。これらから光線には、偏光という性質があることが認識され、このためには、どうしても光は、横波である必要があるのでした。
しかし、横波にしても振動を持続させるためには、媒質の変位とともにそのずれを元に戻す復元力が必要です。
音の場合は、媒質の弾性が復元力の源でした。真空中も伝わる光の波の復元力とは何か？
これは、当時の物理学者の頭を悩ましました。マクスウェルにより1864年、理論的に電磁場方程式が導かれるに至って、この方程式から得られる波の速度が光の速度と同一であり、すなわち、光は、電磁波であろうと彼が結論づけたことにより、ようやくこの問題に対する一応の解決を見たのでした。(歴史をたどる物理学 東京教学社より)
このときマクスウェルが予想した電磁波は、ヘルツが1886年、実験により発見しました。現在、振動数の単位に「Hz(ヘルツ)」を使用するのは、このヘルツに敬意を表しているのです。
なお、音の場合も媒質が粘りを持つ場合(ずれ弾性が無視できない場合)には、縦波の他に横波も伴います。よく知られた例としては、地震の波があります。いわゆる初期微動であるP波(Primary
Wave)は、縦波(時速6～7Km)、S波(Secondary Wave)は、横波(時速 3.5～4Km)です。
日光が白色という一色ではないことを見いだしたのは、ニュートンでした。
彼は、ガラスのプリズムを使い日光が多くの色の光に分解されることを知りました。すなわち、虹の色である赤、橙、黄色、黄緑、緑、青緑、青、青紫、紫などです。赤や紫の外側には、赤外線や紫外線という人間の目には、見えない光があります。
光の色とは、物理的には、光の振動数のことです。ナトリウム原子の出す黄色の光は、高速道路の街灯などにナトリウム灯として用いられています。これは、ほとんど単一の振動数の光(波長589nm：5.1×10の14乗Hz)だけからなっています。
しかし、太陽光線や普通の電灯、蛍光灯などの光は、幅広い光の振動数分布(スペクトル)を持っています。
光をプリズムなどで分解することを分光と呼び、分光は、原子物理学や天文学になくてはならない存在です。
ところが我々が通常、光の色という場合は、このスペクトルが直接、目で感じられる訳ではありません。目には、順応性があるので、電球の光のような比較的赤っぽい光のなかでも白いものは、白いように感じます。しかし、写真フィルムには、そのような順応性はありませんから、晴れた昼間の光で撮影したよりも、やや赤っぽく撮れてしまうのです。
また、個人でも感じ方に差がありますし、錯視と呼ばれる目の錯覚によっても光の色は、左右されてしまいます。
まさに、「水に色なけれど全く色なしと言へるかどうか色とは何か 奥村晃作 俵万智 「三十一文字のパレット」より。」です。
音についても光と同様にスペクトルが考えられます。
ただ、音については、スペクトルと同じくらいその時間的な変化を重視する分野があります。
それは、音楽の分野です。
音楽では、一定のスペクトルの音波がずーと響いているのではなく、当然ですが、単純な強弱も含めて、時間的な変化がより重要です。
光では、動画の世界は、そのような世界でありますが、通常、私たちが認識するのは、形や色のまとまりである図形の運動であって、スペクトルの変化というレベルの認識ではありません。
（動画の圧縮というコンピュータ側の処理では、スペクトルの変化は、重要ではあると思いますが）
また、音楽では、「音程」、「音律」、「音階」という概念が大切です。ここでは、対象を西洋音楽に限りましょう。
ここで、「音程」とは、音の高さ（振動数）をいいます。1939/5にロンドンの国際会議で「ラ」の音の高さを440Hzと決めたそうです。余談ですが、理科年表を含めてWeb上を検索してもこの国際会議についての記載は多いのですが、なんという国際会議だったのかその名前が見つかりませんでした。
なお、Web上での情報では、実際のオーケストラ等では、440Hzよりやや高めの振動数を採用しているそうです。
次に音律です。
1オクターブ上の「ラ」の音の高さ（これは2倍の880Hzです）との間をどのように分けるかという定義が「音律」と呼ばれているものです。
現在、「12平均律」というものが広く、採用されています。
12平均律では、低い「ラ」の音の振動数（440HZ）を基本として、各音程をこれを初項とする公比 2の12乗根（1.059463094・・）の等比数列として扱います。13個目が1オクターブ高い「ラ」の音になります。
440Hzより低い振動数に対しても同様に作成します。
これにより12平均律では、各音程同士の比率が常に一定で、言い換えれば、対数的な意味で厳密な等差数列となります。
また、オクターブ毎に2倍ずつ振動数が増減します。
この音程一つ分がいわゆる「半音」で、2つ分が「全音」と呼ばれています。
更に半音の1／100の音の高さを「セント」と称しています。1セント違う音の高さは、2の1200乗根（1.00057779）倍だけ振動数の比率が異なります。
最後に音階ですが、上記のように得られた12個の音のうち、どの音を使用するかを決める方法が、音階？だと思います。
7つの音を使用する7音階が私たちがよく知っているものです。音の選択の仕方によって「調」が決まります？
この節、まだまだ、不確かな内容です。次回までに勉強します。
ウェーバー・フェヒナーの経験則というものがあるそうです。
これは、刺激xに対する感覚の強さをyとしたとき、刺激xの増加dxに対してdy＝K×dx／xという関係を指します。
(共立 物理学公式 共立出版)
y＝K×log(x／x0)。ここで、x0は、感じられる最低の刺激の大きさとします。
音の高さの感じ方に当てはめてみますと2音の振動数をf1とf2として、人間が感じる音の高さの感覚をF1とF2としましょう。
もし、上記の関係が成り立つとすれば、F1－F2＝K×log(f1／f2)となります。
平均律のように振動数がf＝f0×rn (等比数列)で表されるとすると、(rは、2の12乗根)。
F1－F2＝(m－n)×K×log(r)となります。mとnは、2音の振動数に対応する整数です。
ある音から一つずつ離れると一定の大きさずつ増加、又は、減じていると感じることになります。
もっとも、これだけでは、任意の等比数列であれば、よいので、12個に分ける理由にはなりません。
では、今月は、ここまで。
今後も時間ができましたらば、随時、更新していきたいと思います。
皆様、お元気でお過ごし下さい。
